Question

已知函数f(x)＝m(x－1)²－2x＋3＋ln x，m≥1.
(1)当m＝时，求函数f(x)在区间[1,3]上的极小值；
(2)求证：函数f(x)存在单调递减区间[a，b]；
(3)是否存在实数m，使曲线C：y＝f(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1) 极小值为f(2)＝ln 2－ (2)见解析   (3) 存在实数m＝1使得曲线C：y＝f(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线C有且只有一个公共点

(1)f′(x)＝m(x－1)－2＋ (x＞0)．
当m＝时，f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x₁＝2，x₂＝.
f (x)，f′(x)在x∈(0，＋∞)上的变化情况如下表：

x				2	(2，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

所以当x＝2时，函数f(x)在x∈[1,3]上取到极小值，且极小值为f(2)＝ln 2－.
(2)证明：令f′(x)＝0，得mx²－(m＋2)x＋1＝0.(*)
因为Δ＝ (m＋2)²－4m＝m²＋4＞0，所以方程(*)存在两个不等实根，记为a，b(a＜b)．
因为m≥1，所以，
所以a＞0，b＞0，即方程(*)有两个不等的正根，因此f′(x)＜0的解为(a，b)．
故函数f(x)存在单调递减区间[a，b]．
(3)因为f′(1)＝－1，所以曲线C：y＝f(x)在点P(1,1)处的切线l的方程为y＝－x＋2.若切线l与曲线C有且只有一个公共点，则方程m(x－1)²－2x＋3＋ln x＝－x＋2有且只有一个实根．
显然x＝1是该方程的一个根．
令g(x)＝m(x－1)²－x＋1＋ln x，则g′(x)＝m(x－1)－1＋＝.
当m＝1时，有g′(x)≥0恒成立，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以x＝1是方程的唯一解，m＝1符合题意．
当m＞1时，由g′(x)＝0，得x₁＝1，x₂＝，则x₂∈(0,1)，易得g (x)在x₁处取到极小值，在x₂处取到极大值．
所以g(x₂)＞g(x₁)＝0，又当x趋近0时，g(x)趋近－∞，所以函数g(x)在内也有一个解，m＞1不符合题意．
综上，存在实数m＝1使得曲线C：y＝f(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线C有且只有一个公共点．