题目内容
【题目】已知函数,.
(1)当为何值时,直线
是曲线
的切线;
(2)若不等式在
上恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1) .(2)
.
【解析】
(1)先令,求其导数,设切点为
,由直线
是曲线
的切线,得到
,用导数的方法研究函数
的单调性,即可求出结果;
(2)先令,对其求导,分别讨论
和
两种情况,结合题意,即可得到结果.
(1)令,
,
设切点为,则
,
,则
.
令,
,则函数
在
上单调递减,在
上单调递增,且
,所以
.
(2)令,则
,
①当时,
,所以函数
在
上单调递减,
所以,所以
满足题意.
②当时,令
,得
,
所以当时,
,当
时,
.
所以函数在
上单调递增,在
上单调递减.
(ⅰ)当,即
时,
在
上单调递增,
所以,所以
,此时无解.
(ⅱ)当,即
时,函数
在
上单调递增,在
上单调递减.
所以 .
设 ,则
,
所以在
上单调递增,
,不满足题意.
(ⅲ)当,即
时,
在
上单调递减,
所以,所以
满足题意.
综上所述:的取值范围为
.
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