Question

【题目】已知函数
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）证明：f（x）在（﹣1，+∞）上为增函数；
（3）证明：方程f（x）=0没有负数根．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）

不关于原点对称，所以函数f（x）是非奇非偶函数

（2）证明：设﹣1＜x1＜x2，

，

所以f（x1）﹣f（x2）＜0，

所以f（x）在（﹣1，+∞）上为增函数.

（3）证明：设x0＜0，且f（x0）=0，则 ，

由f（x0）=0，必须 ，则 ，

与x0＜0矛盾．

所以方程f（x）=0没有负数根.

【解析】（1）首先判断函数的定义域是否关于原点对称，可见函数f（x）的定义域不关于原点对称，所以函数f（x）是非奇非偶函数.
（2）利用定义法设﹣1＜x1＜x2，再比较f（x1）﹣f（x2）与0的关系，即可证明f（x）在（﹣1，+∞）上为增函数.
（3）利用反证法，设x0＜0，且f（x0）=0推导出矛盾即可.
【考点精析】通过灵活运用函数单调性的判断方法和函数的奇偶性，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称即可以解答此题．