题目内容
【题目】已知函数,
求函数
图象上一点
处的切线方程.
若方程
在
内有两个不等实根,求实数a的取值范围
为自然对数的底数
.
求证
,且
【答案】(1)(2)
(3)详见解析
【解析】
先求导,再根据导数好的几何意义即可求出;
方程
在
内有两个不等实根,转化为
与
有两个交点,利用导数求出函数
的值域,结合图象,即可求出a的范围;
由
可得
对
恒成立,即
对
恒成立,分别令
,3,,n,代入上式并相加可得.
解:,
,
,
,
函数图象上一点处的切线方程为
;
方程
在
内有两个不等实根,
与
有两个交点,
,
,
令,解得
,
当时,
,函数
单调的递增,
当时,
,函数
单调的递减,
,
,
,
,
与
有两个交点,
证明:由
知
在
上递增,在
上递减,
则,
则对
恒成立,
对
恒成立,
令,3,,n,代入上式并相加可得
--
,
,且
.
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