题目内容
【题目】设函数,
为自然对数的底数.
(1)若曲线在点
处的切线方程为
,求实数
的值;
(2)当时,若存在
,使
成立,求实数
的最小值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
【试题分析】(1)先依据题设运用导数的几何意义建立方程求解;(2)先不等式进行等价转化与化归,再够 造函数运用导数知识分析求解:
(1)由已知得,
,
,
则,且
,解之得
,
.
(2)当时,
.
又
=
.
故当,即
时,
.
“存在,
使
成立”等价于“当
时,有
”,
又当时,
,
,
问题等价于“当时,有
”.
当时,
在
上为减函数,则
.
故;
②当时,
在
上的值域为
.
(i)当,即
时,
在
上恒成立,故
在
上为增函数,
于是
,不合题意;
(ii)当,即
时,由
的单调性和值域知.
存在唯一,使
,且满足
当时,
,
为减函数;
当时,
,
为增函数.
所以
,
.
所以
,与
矛盾.
综上,得的最小值为
.
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k | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.84 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.83 |
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