题目内容
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线的普通方程为,曲线参数方程为(为参数);以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为,.
(1)求的参数方程和的直角坐标方程;
(2)已知是上参数对应的点,为上的点,求中点到直线的距离取得最小值时,点的直角坐标.
【答案】(1)的参数方程为(为参数);的直角坐标方程为;(2).
【解析】
(1)先将化为标准方程,然后利用圆的参数方程的知识,写出的参数方程.利用倾斜角和斜率的对应关系,求得的直角坐标方程.(2)先求得点的坐标,利用参数表示出出点的坐标,由中点坐标公式求得点坐标,利用点到直线距离公式求得距离的表达式,并利用三角函数的知识求得最小值,并求出点的坐标.
解:
(1)化为,所以的参数方程为(为参数);
的直角坐标方程为.
(2)由题设,由(1)可设,于是.
到直线距离,当时,取最小值,此时点的直角坐标为.