题目内容
【题目】如图，在多面体
中，四边形
为正方形，
，
，
.
（1）证明：平面
平面
.
（2）若
平面
，二面角
为
，三棱锥
的外接球的球心为
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）
.
【解析】
证明
平面
即可证明平面
平面
（2）由题确定二面角
的平面角为
，进而推出
为线段
的中点，以
为坐标原点建立空间直角坐标系
由空间向量的线面角公式求解即可
（1）证明：因为四边形
为正方形，
所以
，
又
，
，
所以平面.
因为
平面，所以平面平面.
（2）解：由（1）知平面，又
，则
平面，从而
，
又
，所以二面角的平面角为
.
以为坐标原点建立空间直角坐标系
，如图所示，
则
，
，
.
因为三棱锥
的外接球的球心为，所以为线段的中点，
则的坐标为
，
.
设平面
的法向量为
，则
，
即
令
，得
.
易知平面
的一个法向量为
，
则
.
由图可知，二面角
为锐角，
故二面角的余弦值为.
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【题目】设某校新、老校区之间开车单程所需时间为
，只与道路畅通状况有关，对其容量为
的样本进行统计，结果如图：
| 25 | 30 | 35 | 40 |
频数（次） | 20 | 30 | 40 | 10 |
（1）求的分布列与数学期望
；
（2）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．
【题目】某大学高等数学这学期分别用
两种不同的数学方式试验甲、乙两个大一新班（人数均为
人，入学数学平均分和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样）.现随机抽取甲、乙两班各
名的高等数学期末考试成绩，得到茎叶图：
（1）学校规定：成绩不得低于85分的为优秀，请填写下面的
列联表，并判断“能否在犯错误率的概率不超过0.025的前提下认为成绩优异与教学方式有关？”
下面临界值表仅供参考：
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（参考方式：
，其中
）
（2）现从甲班高等数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为86分的同学至少有一个被抽中的概率.
