题目内容
【题目】如图,在多面体中,四边形
为正方形,
,
,
.
(1)证明:平面平面
.
(2)若平面
,二面角
为
,三棱锥
的外接球的球心为
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
证明平面
即可证明平面
平面
(2)由题确定二面角
的平面角为
,进而推出
为线段
的中点,以
为坐标原点建立空间直角坐标系
由空间向量的线面角公式求解即可
(1)证明:因为四边形为正方形,
所以,
又,
,
所以平面
.
因为平面
,所以平面
平面
.
(2)解:由(1)知平面
,又
,则
平面
,从而
,
又,所以二面角
的平面角为
.
以为坐标原点建立空间直角坐标系
,如图所示,
则,
,
.
因为三棱锥的外接球的球心为
,所以
为线段
的中点,
则的坐标为
,
.
设平面的法向量为
,则
,
即令
,得
.
易知平面的一个法向量为
,
则.
由图可知,二面角为锐角,
故二面角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】设某校新、老校区之间开车单程所需时间为,
只与道路畅通状况有关,对其容量为
的样本进行统计,结果如图:
| 25 | 30 | 35 | 40 |
频数(次) | 20 | 30 | 40 | 10 |
(1)求的分布列与数学期望
;
(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.
【题目】某大学高等数学这学期分别用两种不同的数学方式试验甲、乙两个大一新班(人数均为
人,入学数学平均分和优秀率都相同;勤奋程度和自觉性都一样).现随机抽取甲、乙两班各
名的高等数学期末考试成绩,得到茎叶图:
(1)学校规定:成绩不得低于85分的为优秀,请填写下面的列联表,并判断“能否在犯错误率的概率不超过0.025的前提下认为成绩优异与教学方式有关?”
下面临界值表仅供参考:
(参考方式:,其中
)
(2)现从甲班高等数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学,求成绩为86分的同学至少有一个被抽中的概率.