Question

【题目】设点F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是椭圆C： =1（a＞1）的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且 的最小值为0．

（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l，求四边形F1MNF2面积S的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设P（x，y），则 =（x+c，y）， =（x﹣c，y），

∴ =x2+y2﹣c2= x2+1﹣c2，x∈[﹣a，a]，

由题意得，1﹣c2=0c=1a2=2，

∴椭圆C的方程为

（2）解：将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程x2+2y2=2中，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0．

由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=16k2m2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）=0，

化简得：m2=2k2+1．

设d1=|F1M|= ，d2=|F2N|= ，

当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，

则|d1﹣d2|=|MN|×|tanθ|，

∴|MN|= |d1﹣d2|，

∴S= d1﹣d2|（d1+d2）= = = ，

∵m2=2k2+1，∴当k≠0时，|m|＞1，|m|+ ＞2，

∴S＜2．

当k=0时，四边形F1MNF2是矩形，S=2．

所以四边形F1MNF2面积S的最大值为2

【解析】（1）利用 的最小值为0，可得 =x2+y2﹣c2= x2+1﹣c2 ， x∈[﹣a，a]，即可求椭圆C的方程；（2）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程中，得到关于x的一元二次方程，由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=0，即可得到m，k的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到d1=|F1M|，d2=|F2N|．当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，则|d1﹣d2|=|MN|×|tanθ|，即可得到四边形F1MNF2面积S的表达式，利用基本不等式的性质，结合当k=0时，四边形F1MNF2是矩形，即可得出S的最大值．