Question

16．下列命题：
①如果函数f（x）对任意的x∈R，都有f（a+x）=f（a-x）（a为常数），那么函数f（x）必为偶函数；
②如果函数f（x）对任意的x∈R，满足f（x+2）=-f（x），那么函数f（x）是周期函数；
③如果函数f（x）对任意x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，那么f（x）在R上是增函数；
④函数y=f（x）和函数y=f（x-1）+2的图象一定不会重合．
其中真命题的序号是②③．

Answer 1

分析 ①由函数的奇偶性性定义可知：函数f（x）不一定为偶函数，只能是关于x=a对称；
②根据条件可将x换为x+2，即得函数即为周期是4的函数；
③根据函数的单调性定义即可判断；
④举例说明命题错误．

解答 解：①若函数f（x）对任意的x∈R，都有f（a+x）=f（a-x）（a为常数），
则f（x）的图象关于直线x=a对称，
若a=0，则函数为偶函数，故①错误；
②若f（x）对任意的x∈R，满足f（2+x）=-f（x），
则f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
故函数f（x）是周期为4的函数，故②正确；
③若函数f（x）对任意的x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，
都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，
则由函数的单调性定义知函数f（x）在R上是减函数，
故③正确；
④函数f（x）=2x，则y=f（x-1）+2=2（x-1）+2=2x，
函数y=f（x）和函数y=f（x-1）+2的图象重合，
故④错误．
∴正确命题的序号是②③．
故答案为：②③．

点评 本题考查了函数的性质及应用，掌握函数的奇偶性、单调性和单调性的定义是解决函数问题的重要依据，同时考查函数的图象的变换，是基础题．