Question

5．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）．
（1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）的零点个数；
（2）若对任意的x₁，x₂ ∈R．且x₁＜x₂ ，f（x₁）≠f（x₂），试证明存在x₀∈（x₁，x₂ ），使得f（x₀）=$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]成立．

Answer 1

分析 （1）由f（-1）=0可求得b=a+c，利用△=（a-c）²分析判断即可；
（2）令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，可证得g（x₁）g（x₂）＜0，由零点存在定理可知存在x₀∈（x₁，x₂），使f（x₀）=$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]成立．

解答 （1）解：∵f（-1）=0，
∴a-b+c=0，则b=a+c，
∵△=b²-4ac=（a-c）²，
∴当a=c时，△=0，此函数f（x）有一个零点；
当a≠c时，△＞0．函数f（x）有两个零点．
（2）证明：令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，则
g（x₁）=f（x₁）-$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]
=$\frac{1}{2}$[f（x₁）-f（x₂）]g（x₂）
=f（x₂）-$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]
=$\frac{1}{2}${f（x₂）-f（x₁）}，
∵f（x₁）≠f（x₂）
∴g（x₁）g（x₂）＜0，所以g（x）=0在（x₁，x₂）内必有一个实根，
即存在x₀∈（x₁，x₂）使f（x₀）=$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]成立．

点评 本题考查二次函数的性质，考查函数零点的判定定理，考查化归思想与构造函数的思想的综合应用，属于难题．