Question

1．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}}$，S_n是其前n项和，则S₂₀₁₅=（　　）

• A． $\frac{2011}{2}$
• B． 1009
• C． 1007
• D． $\frac{2017}{2}$

Answer 1

分析 由已知结合数列递推式求出数列前几项，可得数列是以3为周期的周期数列，由此可得S₂₀₁₅．

解答 解：由a₁=2，a_n+1=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}}$，得
${a}_{2}=\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{1}}=\frac{1}{2}$，
${a}_{3}=\frac{{a}_{2}-1}{{a}_{2}}=\frac{\frac{1}{2}-1}{\frac{1}{2}}=-1$，
${a}_{4}=\frac{{a}_{3}-1}{{a}_{3}}=\frac{-1-1}{-1}=2$，
由上可知，数列{a_n}是以3为周期的周期数列，
则S₂₀₁₅=a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₅=671（a₁+a₂+a₃）+a₁+a₂
=$671×（2+\frac{1}{2}-1）+$$\frac{5}{2}$=1009．
故选：B．

点评 本题考查数列递推式，关键是对数列周期的发现，是基础题．