题目内容

7.P为椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{15}$=1上任意一点,EF为圆N:(x-1)2+y2=4的任意一条直径,则$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$的取值范围是(  )
A.[0,15]B.[5,15]C.[5,21]D.(5,21)

分析 利用$\overrightarrow{NF}$=-$\overrightarrow{NE}$化简可知$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$=$|\overrightarrow{PN}{|}^{2}$-4,通过a-c≤|$\overrightarrow{PN}$|≤a+c,计算即得结论.

解答 解:$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$=($\overrightarrow{PN}$+$\overrightarrow{NE}$)•($\overrightarrow{PN}$+$\overrightarrow{NF}$)
=($\overrightarrow{PN}$+$\overrightarrow{NE}$)•($\overrightarrow{PN}$-$\overrightarrow{NE}$)
=${\overrightarrow{PN}}^{2}$-${\overrightarrow{NE}}^{2}$
=$|\overrightarrow{PN}{|}^{2}$-4,
∵a-c≤|$\overrightarrow{PN}$|≤a+c,即3≤|$\overrightarrow{PN}$|≤5,
∴$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$的范围是[5,21],
故选:C.

点评 本题考查椭圆的简单性质,注意解题方法的积累,属于中档题.

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