函数f(x)=-2sin2x+sin2x+1.给出下列4个命题:①在区间$[{\frac{π}{8}.\frac{5π}{8}}]$上是减函数, ②直线x=$\frac{π}{8}$是函数图象的一条对称轴,③函数f(x)的图象可由函数y=$\sqrt{2}$sin2x的图象向左平移$\frac{π}{4}$而得到,④若$x∈[{0.\frac{π}{2}}]$.则f(x)� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．函数f（x）=-2sin²x+sin2x+1，给出下列4个命题：
①在区间$[{\frac{π}{8}，\frac{5π}{8}}]$上是减函数；
②直线x=$\frac{π}{8}$是函数图象的一条对称轴；
③函数f（x）的图象可由函数y=$\sqrt{2}$sin2x的图象向左平移$\frac{π}{4}$而得到；
④若$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，则f（x）的值域是$[{0，\sqrt{2}}]$．
其中正确命题序号是①②．

分析利用倍角公式结合辅助角公式化积，然后结合y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质逐一判断四个命题得答案．

解答解：由f（x）=-2sin²x+sin2x+1
=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$．
对于①，由$\frac{π}{8}≤x≤\frac{5π}{8}$，得$\frac{π}{4}≤2x≤\frac{5π}{4}$，
∴$\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{3π}{2}$，则f（x）在区间$[{\frac{π}{8}，\frac{5π}{8}}]$上是减函数，①正确；
对于②，由x=$\frac{π}{8}$，得$2x+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$，∴直线x=$\frac{π}{8}$是函数图象的一条对称轴，②正确；
对于③，函数y=$\sqrt{2}$sin2x的图象向左平移$\frac{π}{4}$，得到f（x）=$\sqrt{2}sin2（x+\frac{π}{4}）=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{2}）=\sqrt{2}cos2x$，
∴命题③错误；
对于④，由$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，得$2x+\frac{π}{4}∈$[$\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}$]，则f（x）的值域是[-1，$\sqrt{2}$]，命题④错误．
∴正确的命题是①②．
故答案为：①②．

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