Question

4．已知f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x∈[-1，0）时，f（x）=2ax+$\frac{1}{x}$（a为实数）．
（1）当x∈（0，1]时，求f（x）的解析式；
（2）若0＜a＜$\frac{1}{a}$时，判断f（x）在x∈（0，1]上的单调性，并证明你的结论；
（3）是否存在a，使得当x∈（0，1]时，f（x）有最小值6．

Answer 1

分析 （1）当x∈（0，1]时，-x∈[-1，0），将-x代入函数的解析式结合函数的奇偶性求出即可；
（2）通过讨论a的范围，根据函数的单调性的定义证明即可；
（3）假设存在，利用基本不等式的性质求出即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，
当x∈[-1，0）时，f（x）=2ax+$\frac{1}{x}$（a为实数）．
∴当x∈（0，1]时，-x∈[-1，0）
∴f（-x）=-2ax-$\frac{1}{x}$=-f（x），
∴f（x）=2ax+$\frac{1}{x}$；
（2）由（1）得：x∈（0，1]时：f（x）=2ax+$\frac{1}{x}$，
设0＜x₁＜x₂≤1，
则f（x₁）-f（x₂）=2ax₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$-2ax₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）（2a-1）}{{x}_{1}{•x}_{2}}$，
$\frac{1}{2}$＜a＜1时：2a-1＞0，x₁-x₂＜0，f（x₁）＜f（x₂），
函数f（x）在（0，1]递增；
0＜a≤$\frac{1}{2}$时：2a-1＜0，x₁-x₂＜0，f（x₁）＞f（x₂），
函数f（x）在（0，1]递减；
（3）假设存在实数a，使得当x∈（0，1]时，f（x）有最小值6，则a＞0，
∴f（x）=2ax+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{2ax•\frac{1}{x}}$=2$\sqrt{2a}$=6，解得：a=$\frac{9}{2}$，当且仅当x=$\sqrt{\frac{1}{2a}}$=$\frac{1}{3}$时“=”成立．

点评 本题考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想，是高考的重点，解题时要认真审题，注意函数性质的灵活运用．