Question

15．设函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$（x＞0，a≥0）．
（1）判断f（x）的单调性，并给予证明；
（2）当x∈[1，2]时，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）f（x）在（0，$\sqrt{a}$）递减，在（$\sqrt{a}$，+∞）递增．求出导数，求得单调区间，即可判断；
（2）对a讨论，结合（1）的单调区间，由单调性即可得到最大值．

解答 解：（1）f（x）在（0，$\sqrt{a}$）递减，在（$\sqrt{a}$，+∞）递增．
理由如下：f（x）=x+$\frac{a}{x}$的导数为f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$，（x＞0，a≥0），
由f′（x）＞0，可得x＞$\sqrt{a}$，由f′（x）＜0，可得0＜x＜$\sqrt{a}$，
即有f（x）在（0，$\sqrt{a}$）递减，在（$\sqrt{a}$，+∞）递增；
（2）当$\sqrt{a}$≥2，即a≥4时，[1，2]递减，
即有f（1）最大，且为1+a；
当$\sqrt{a}$≤1，即0≤a≤1时，[1，2]递增，
f（2）最大，且为2+$\frac{1}{2}$a；
当1＜$\sqrt{a}$＜2时，x=$\sqrt{a}$时，f（x）取得最小值，
当1＜a≤2时，f（2）≥f（1），即有f（2）最大，且为2+$\frac{1}{2}$a；
当2＜a＜4时，f（2）＜f（1），即有f（1）最大，且为1+a．
综上可得，a＞2时，f（x）的最大值为f（1）=1+a；
0≤a≤2时，f（x）的最大值为f（2）=2+$\frac{1}{2}$a．

点评 本题考查函数的单调性和最值的求法，考查运用导数判断单调性，以及单调性求最值，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．