题目内容
【题目】已知函数
.
（1）当
时，求
的极值；
（2）当函数有两个极值点
，
，总有
成立，求整数t的最大值.
【答案】（1）极大值为-7，
的极小值为
. （2）最大值为
.
【解析】
（1）通过求出的导数，求出的单调区间，进而可得极值；
（2）对求导，函数有两个极值点
，
可得
在
上有两个不等的正实根，由韦达定理可得
，再将
代入
可得
恒成立，
，求导，求出 
的最小值即可.
解：（1）
，
故在
上单调递增，
上单调递减，
上单调递增，
从而的极大值为
，的极小值为
；
（2）函数的定义域为，
，
有两个极值点，，
则在上有两个不等的正实根，
由
，可得，
由题，有
，即恒成立，
令，
，
设
，因为
，
所以在
上单调递增且当
时，
，又
，
故存在
，使得
，即
，
，
所以在
上单调递减，
上单调递增，
故
，
故
，
，
所以t的最大值为.
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x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y | 4 | 6 | 10 | 15 | 20 |
（1）若y与x具有线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程
，并预测第六天销售该洗发液的瓶数（按四舍五入取到整数）；
（2）超市打算第六天加大活动力度，购买洗发液可参加抽奖，中奖者可领取奖金20元，中奖概率为
，已知甲、乙两名顾客抽奖中奖与否相互独立，求甲、乙所获得奖金之和X的分布列及数学期望.
参考公式：
，
.
