题目内容
【题目】已知函数的导函数为.
(1)若对任意恒成立,求实数的取值范围;
(2)若函数的极值为正数,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)由对任意恒成立,求出代入分离参数,将问题转化为,由二次函数的最值可得a的取值范围;
(2)由函数的极值为正数,则有正根,将问题转化为二次函数有正根问题,对a进行分类讨论,可得当时,方程有两个不等实根,且异号,设,,可得出是函数在上的唯一极值点且是极大值点,再利用函数与方程思想可得,又得实数的取值范围.
(1),
对任意恒成立,即.
.
,当时有最小值-1,
,.
(2).
①当时,,在上递增,
此时无极值;
②当时,设方程,.
方程有两个不等实根,,
,,一正一负,
设,,结合函数的图象可知,
当时,;当时,,
在上递增,在上递减,是函数在上的唯一极值点且是极大值点.
.
令,易知在上递增,又,
时,,.
,
.
.
练习册系列答案
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【题目】某校有1400名考生参加市模拟考试,现采取分层抽样的方法从
文、理考生中分别抽取20份和50份数学试卷,进行成绩分析,
得到下面的成绩频数分布表:
分数分组 | [0,30) | [30,60) | [60,90) | [90,120) | [120,150] |
文科频数 | 2 | 4 | 8 | 3 | 3 |
理科频数 | 3 | 7 | 12 | 20 | 8 |
(1)估计文科数学平均分及理科考生的及格人数(90分为及格分数线);
(2)在试卷分析中,发现概念性失分非常严重,统计结果如下:
文理 失分 | 文 | 理 |
概念 | 15 | 30 |
其它 | 5 | 20 |
问是否有90%的把握认为概念失分与文、理考生的不同有关?(本题可以参考独立性检验临界值表:)
( | <>0.5 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式: ,其中.