题目内容
【题目】已知曲线上动点
与定点
的距离和它到定直线
的距离的比是常数
,若过
的动直线
与曲线
相交于
两点
(1)说明曲线的形状,并写出其标准方程;
(2)是否存在与点不同的定点
,使得
恒成立?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由
【答案】(1)曲线是椭圆,它的标准方程为
;(2)存在点
满足题意
【解析】
(1)先设动点坐标为
,根据题意列出等式
,化简整理即可求出结果;
(2)分情况讨论如下:当直线与
轴垂直时,易得点
必在
轴上.;当直线
与
轴垂直时,易得点
的坐标只可能是
;再证明直线
斜率存在且
时均有
即可.
(1)设动点坐标为
点到直线
的距离为
.依题意可知
则
化简得
所以曲线是椭圆,它的标准方程为
(2)①当直线与
轴垂直时,由椭圆的对称性可知
,又因为
,则
从而点必在
轴上.
②当直线与
轴垂直时,则
,由①可设
,
由得
,解得
(舍去),或
.
则点的坐标只可能是
.
下面只需证明直线斜率存在且
时均有
即可.
设直线的方程为
,代入
得
.
设
所以
设点关于
轴对称的点坐标
因为直线的斜率
同理得直线的斜率
,三点
共线.
故.
所以存在点满足题意.
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练习册系列答案
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分数 | 频数 | 频率 |
8 | 0.08 | |
18 | 0.18 | |
20 | 0.2 | |
0.24 | ||
15 | ||
10 | 0.10 | |
5 | 0.05 | |
合计 | 1 |
(1)计算表格中,
,
的值;
(2)为了了解成绩在,
分数段学生的情况,先决定利用分层抽样的方法从这两个分数段中抽取6人,再从这6人中随机抽取2人进行面谈,求2人来自不同分数段的概率.