题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，
为正三角形，
，
，
为线段
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）若
，
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）利用中位线关系，得出
//
，然后再根据题意证明
//
，即可得出结论
（2）先证明出
平面
，然后以
为坐标原点，
，
，
为
轴、
轴、
轴建立如图所示的空间直角坐标系，然后计算出平面
的法向量
和
，最后，利用公式求解
求解即可
（1）证明：取
的中点
，连接，
，则//.
又
，
，所以
，
.
又
，所以//.
又
，
，
所以平面
//平面
.
又
平面
，
所以
//平面.
（2）连接
，
，
则为
中点，
，
.
又
，
，所以
.
又
，所以平面.
以为坐标原点，，，为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.
，
，
，
，
，
，
，
.
设平面的法向量
，
则
得
.
设直线与平面所成角为
，则
.
故直线
与平面
所成角的正弦值为
.
互动课堂系列答案
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为了激发广大中学生对人工智能的兴趣,某市教育局组织了一次全市中学生“人工智能”软件设计竞赛,从参加比赛的学生中随机抽取了30 名学生,并把他们的比赛成绩按五个等级进行了统计,得到如下数据表:
成绩等级 |
|
|
|
|
|
成绩(分) | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
人数（名） | 4 | 6 | 10 | 7 | 3 |
(1)根据上面的统计数据,试估计从本市参加比赛的学生中任意抽取一人,其成绩等级为“
或
”的
概率;
(2)根据(I)的结论,若从该地区参加比赛的学生(参赛人数很多)中任选3 人,记
表示抽到成绩等级为“或”的学生人数,求 的分布列及其数学期望
；
(3)从这30 名学生中,随机选取2 人,求“这两个人的成绩之差大于1分”的概率.
