题目内容
【题目】如图,四棱锥中,底面
为矩形,
平面
,
为
的中点.
(1)证明: 平面
(2)已知,
,
求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2) .
【解析】试题分析:
(1)以点A为坐标原点,建立空间直角坐标系,设,可得:直线
的方向向量为:
,平面
的一个法向量为
,
结合可得:
平面
.
(2)结合(1)的结论结合题意可得平面的一个法向量为
.平面
的一个法向量为:
,据此计算可得二面角
的余弦值为
.
试题解析:
(1)以点A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设,
由几何关系有: ,
则直线的方向向量为:
,
,
设平面的法向量
,则:
,
据此可得:平面的一个法向量为
,
结合可知:
,据此可得:
平面
.
(2)结合(1)的结论可知: ,
则平面的一个法向量为
.
由平面
可知平面
的一个法向量为:
,
据此可得: ,
则,
观察可知二面角的平面角为锐角,
故二面角的余弦值为
.
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