Question

【题目】设函数，其中．

（Ⅰ）已知函数为偶函数，求的值；

（Ⅱ）若，证明：当时，；

（Ⅲ）若在区间内有两个不同的零点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）．

【解析】

（Ⅰ）利用偶函数的定义，化简后可得实数的值；

（Ⅱ）利用导数分析函数在上的单调性，进而可证得；

（Ⅲ）令得，令，利用导数分析函数在区间上的单调性与极值，利用数形结合思想可求得实数的取值范围.

（Ⅰ）函数为偶函数，所以，即，

整理得对任意的恒成立，；

（Ⅱ）当时，，则，

，则，，，

所以，函数在上单调递增，

当时，；

（Ⅲ）由，得，设函数，，

则，令，得．

随着变化，与的变化情况如下表所示：

		极大值

所以，函数在上单调递增，在上单调递减．

又因为，，，且，如下图所示：

所以，当时，方程在区间内有两个不同解，

因此，所求实数的取值范围为．