题目内容
7．已知在数列{an}中，a1=1，a2=2，an+2=an+2n，则an=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（n-1）^{2}+1，}&{n为奇数}\\{\frac{1}{2}{（n-1）}^{2}+\frac{3}{2}，}&{n为偶数}\end{array}\right.$．分析 通过an+2=an+2n可知an=an-2+2（n-2）、an-2=an-4+2（n-4）、…、a4=a2+2•2、a3=a1+2•1，分n为奇偶数两种情况讨论即可．
解答 解：∵an+2=an+2n，
∴an=an-2+2（n-2），
an-2=an-4+2（n-4），
…
a4=a2+2•2，
a3=a1+2•1，
∴当n为偶数时，an=a2+2[2+4+…+（n-2）]
=2+2[0+2+4+…+（n-2）]
=2+2•$\frac{n（0+n-2）}{4}$
=$\frac{1}{2}$n2-n+2
=$\frac{1}{2}$（n-1）2+$\frac{3}{2}$，
且当n=2时满足上式；
当n为奇数时，an=a1+2[1+3+…+（n-2）]
=1+2•$\frac{（n-1）（1+n-2）}{4}$
=$\frac{1}{2}$（n-1）2+1
且当n=1时满足上式；
综上所述，an=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（n-1）^{2}+1，}&{n为奇数}\\{\frac{1}{2}{（n-1）}^{2}+\frac{3}{2}，}&{n为偶数}\end{array}\right.$，
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（n-1）^{2}+1，}&{n为奇数}\\{\frac{1}{2}{（n-1）}^{2}+\frac{3}{2}，}&{n为偶数}\end{array}\right.$．
点评 本题考查数列的通项，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．
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