Question

18．定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x），f（x-2）=f（x+2），且x∈（-2，0），f（x）=2^x+$\frac{1}{2}$，则f（2013）=（　　）

• A． -1
• B． 0
• C． 1
• D． ±1

Answer 1

分析 由f（-x）=-f（x），f（x-2）=f（x+2），得到函数为奇函数且函数为周期为4的函数，利用函数的奇偶性和周期性进行转化即可．

解答 解：∵f（-x）=-f（x），
∴函数是奇函数，
∵f（x-2）=f（x+2），
∴f（x）=f（x+4）
即函数f（x）是周期为4的周期函数，
则f（2013）=f（503×4+1）=f（1）=-f（-1）
∵x∈（-2，0），f（x）=2^x+$\frac{1}{2}$，
∴f（-1）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=1，
则f（2013）=-f（-1）=-1，
故选：A．

点评 本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和周期性的性质进行转化是解决本题的关键．