Question

12．已知函数f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，求满足下列条件的f（x）、g（x）的解析式：
（1）f（x）+g（x）=x²+x-2；
（2）f（x）+g（x）=$\frac{1}{x-1}$．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的性质，利用方程组法进行求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，f（x）+g（x）=x²+x-2①；
∴f（-x）+g（-x）=x²-x-2；
即f（x）-g（x）=x²-x-2；②
由①②得f（x）=x²-2，g（x）=x．
（2）∵f（x）+g（x）=$\frac{1}{x-1}$．①
∴f（-x）+g（-x）=$\frac{1}{-x-1}$；
即f（x）-g（x）=-$\frac{1}{x+1}$ ②
由①②得f（x）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x+1}$）=$\frac{1}{{x}^{2}-1}$，g（x）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{x-1}$+$\frac{1}{x+1}$）=$\frac{x}{{x}^{2}-1}$．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，利用函数的奇偶性建立方程关系是解决本题的关键．