题目内容
【题目】（本小题满分14分）已知递增等差数列
中的
是函数
的两个零点．数列
满足，点
在直线
上，其中
是数列的前
项和．
（1）求数列和的通项公式；
（2）令
，求数列
的前n项和
．
【答案】（1）
，
；（2）
.
【解析】
试题分析：本题主要考查函数零点、等差数列的通项公式、等比数列的通项公式、等比数列的前n项和公式、错位相减法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，先解出函数
的两个零点，由于数列
是递增数列，排除一组解，再利用等差数列的通项公式求
，利用点在直线上，得到
与
的关系式，再利用
证出数列
是等比数列，最后利用等比数列的前n项和公式求
；第二问，利用第一问的结论，先求出
表达式，利用错位相减法求和，在此过程中要用到等比数列的前n项和公式计算.
试题解析：（1）∵
，
是函数
的两个零点，则
，解得：
或
. ..2分
又等差数列
递增，则
，∴ .4分
∵点
在直线
上，则
。
当
时，
，即
. .5分
当
时， 
，即
. .. 6分
∴数列
为首项为
，公比为
的等比数列，即. . 7分
（2）由（1）知：且， ... 8分
则
...9分
∴
①
② . 10分
①-②得：
. 12分
∴
. 或写 . 14分
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x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程
（3）已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?(参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)
