Question

【题目】已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求a的取值范围
（3）若x∈[t，t+2]，试求y=f（x）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知，f（0）=f（2）=3，可得对称轴为x=1，

则函数的定点坐标为（1，1），

设f（x）=a（x﹣1）2+1，a＞0，由f（0）=3，得a=2，

故f（x）=2x2﹣4x+3

（2）解：因为函数的对称轴为1，f（x）在区间[2a，a+1]上不单调

对称轴在区间[2a，a+1]内，即2a＜1＜a+1，

解得0＜a＜

（3）解：当t≥1时，函数f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）min=f（t）=2t2﹣4t+3．

当t＜1＜t+2时，即﹣1＜t＜1时，f（x）min=1，

当t+2≤1时，即t≤﹣1时，函数f（x）在[t，t+2]上单调递减，f（x）min=f（t+2）=2t2+4t+5，

综上所述y=f（x）min=g（t）=

【解析】（1）根据二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）可得对称轴为x=1，可设f（x）=a（x﹣1）2+1，由f（0）=3，求出a的值即可；（2）f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，则2a＜1＜a+1，解得即可；（3）通过讨论t的范围，得到函数的单调性，从而求出函数的最小值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．