题目内容
【题目】已知函数{an}：a1=t，n2Sn+1=n2（Sn+an）+an2 ， n=1，2，…．
（1）设{an}为等差数列，且前两项和S2=3，求t的值；
（2）若t= 
，证明： 
≤an＜1．
【答案】
（1）解：设等差数列公差为d，则2t+d=3，
又 
，
得a1=1或a1=﹣3，
但当a1=﹣3时，d=9，无法使 
恒成立，
∴t=1．
（2）解：先证an＜1．
易知an＞0， 
，故{an}为递增数列，
从而 
，
∴ 
有 
，
由叠加法有 
（n≥2），
注意到 
（k≥2），
∴ 
， 
= 
从而 
，即an＜1（n≥2），
又 
，有an＜1（n∈N*）成立．
再证 
，
当n=1时， 
成立，
由an＜1， 
，
从而 
= 
∴ 
，即有 
，
叠加有 
（n≥2），
又 
，
从而 
= 
∴ 
，即有 
（n≥2），
综上 （n∈N*）．
【解析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出；（2）先证an＜1．易知an＞0，且{an}为递增数列，利用递推关系可得： 
，利用“累加求和”方法即可证明．再证 ，当n=1时， 成立，由an＜1，可得： ，利用“累加求和”方法即可得出．
【考点精析】认真审题，首先需要了解等差数列的通项公式（及其变式）(通项公式：
或
)，还要掌握数列的通项公式(如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式)的相关知识才是答题的关键．
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