Question

【题目】如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD垂直底面ABCD，∠PAD＝∠ABC，设．

（1）求证：AE垂直BC；

（2）若直线AB∥平面PCD，且DC＝2AB，求证：直线PD∥平面ACE．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）先证明BC⊥平面PAB ，根据AE平面PAB得到证明。

（2）连结AC，BD，交于点O，连结OE，证明△ABO∽△CDO，根据相似得到OE∥PD，得到证明。

（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，∠PAD，∴PA⊥AD，

∵侧面PAD垂直底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，

∴PA⊥底面ABCD，∵BC平面ABCD，∴PA⊥BC，∵∠ABC，∴AB⊥BC，

∵PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，∵AE平面PAB，∴AE垂直BC．

（2）连结AC，BD，交于点O，连结OE，

∵直线AB∥平面PCD，ABCD是平面图形，∴AB∥CD，

∴△ABO∽△CDO，

∵，且DC＝2AB，∴，∴OE∥PD，

∵OE平面ACE，PO平面ACE，∴直线PD∥平面ACE．