Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，平面平面，为等边三角形，为的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）若是的中点，求证：平面，并求四面体的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）先证明平面，再利用面面垂直的判定定理即可证明平面平面；（2）连结交于点，连结，则先证明即可证明平面，四面体的体积要通过等积法转化求得，即，而四面体的底面积，高为容易求得.

（1）证明：因为为等边边的中点，所以，

又因为在菱形中，，所以为等边三角形，

又为的中点，所以.而，所以平面，

又平面，所以平面平面.

（2）连结交于点，连结，如图所示.

因为底面为菱形，为中点，为中点，所以，

又平面，所以平面.

故点到平面的距离等于点到平面的距离，即.

由（1）知，平面平面，所以底面，

因为等边的边长为2，所以.

又因为为中点，所以点到底面的距离为，

易知为边长为2的等边三角形，所以三棱锥的体积为：

.

故所求四面体的体积为.