[题目]在△ABC中.角A.B.C的对边分别为a.b.c.且2ccosB＝2a+b．(1)求角C的大小,(2)若△ABC的面积等于.求ab的最小值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB＝2a+b．

（1）求角C的大小；

（2）若△ABC的面积等于，求ab的最小值.

【答案】（1）C；（2）最小值为

【解析】

（1）由正弦定理，将2ccosB＝2a+b变形为2sinCcosB＝2sin(B+C)+sinB，使用两角和的正弦公式化简等式即可求得C的值；

（2）由△ABC的面积公式得出c与a、b的关系为c=3ab，将其代入余弦定理，并通过基本不等式进行变形，可求得ab的最小值.

（1）由正弦定理可知：2R，

a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，其中R为△ABC的外接圆半径，

由2ccosB＝2a+b，则2sinCcosB＝2sin(B+C)+sinB，可得：2sinBcosC+sinB＝0，

由0＜B＜π，sinB≠0，cosC，0＜C＜π，则C；

（2）由SabsinCab，则c＝3ab，又c2＝a2+b2﹣2abcosC＝a2+b2+ab，

由a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号，可得：2ab+ab≤9a2b2，即ab，

则当a＝b时，ab取得的最小值为．

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