题目内容
7.证明下列等式,并从中归纳出一个一般性的结论.2cos$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$;
2cos$\frac{π}{8}$=$\sqrt{2+\sqrt{2}}$;
2cos$\frac{π}{16}$=$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$;
…
分析 根据半角公式可证明已知的三个等式,再由题意,观察各式可得其规律,用n将规律表示出来一般性结论.
解答 证明:∵cos$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,∴2cos$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$;
2cos$\frac{π}{8}$=2$\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$=$\sqrt{2+\sqrt{2}}$
2cos$\frac{π}{16}$=2$\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}{2}}$=$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$,观察下列等式:
2cos$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$;
2cos$\frac{π}{8}$=$\sqrt{2+\sqrt{2}}$;
2cos$\frac{π}{16}$=$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$;
…
由上边的式子,我们可以推断:
2cos$\frac{π}{{2}^{n+1}}$=$\begin{array}{c}\\ \stackrel{n层}{\sqrt{2+\sqrt{2+…+\sqrt{2}}}}\end{array}\right.$(n∈N*)
点评 归纳推理的一般步骤是:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想).
练习册系列答案
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9.设集合I={a1,a2,…,an },若集合A,B满足A∪B=I,则称{A,B}为集合I的一种分拆,并规定,当且仅当A=B时,(A,B)与(B,A)为集合I的同一分拆,则集合I的不同分拆的种数为( )
A. | 3n | B. | 2n | C. | 3n-1 | D. | 2n-1 |
12.已知在△ABC中,∠A:∠B=1:2,∠ACB的平分线CD把△ABC的面积分成3:2两部分,则cosA=( )
A. | $\frac{1}{3}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{3}{4}$ | D. | 0 |
19.已知集合A={1,3,9},B={1,9},则A∪B=( )
A. | {1,3,9} | B. | {1,9} | C. | {3} | D. | {3,9} |
16.已知结合A={x|y=$\sqrt{x+1}$},集合B={y|y=sinx},则下列结论正确的是( )
A. | A∩B=∅ | B. | A∪B=B | C. | A∩B=A | D. | B?A |
17.用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时,结论的否定是( )
A. | 没有一个内角是钝角 | B. | 只有两个内角是钝角 | ||
C. | 至少有两个内角是钝角 | D. | 三个内角都是钝角 |