Question

8．已知f（0）=0，f（$\frac{π}{2}$）=1，解函数方程f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy．

Answer 1

分析 利用赋值法，即可得出结论．

解答 解：令y=$\frac{π}{2}$，得f（x+$\frac{π}{2}$）+f（x-$\frac{π}{2}$）=2f（x）cos$\frac{π}{2}$=0
令x=$\frac{π}{2}$，y=x，得f（x+$\frac{π}{2}$）+f（$\frac{π}{2}$-x）=2f（$\frac{π}{2}$）cosx=2cosx
令x=0，得f（y）+f（-y）=0，∴f（x）是奇函数．
∴f（x-$\frac{π}{2}$）+f（$\frac{π}{2}$-x）=0
两式相加：2f（x+$\frac{π}{2}$）=2cosx，
∴f（x）=cos（$\frac{π}{2}$-x）=sinx．

点评 本题考查抽象函数问题，解决的关键是灵活准确地对x赋值．