Question

15．在△ABC中，∠A、B、C的对边分别为a、b、c，若向量$\overrightarrow{p}$=（bcosC，a+c），$\overrightarrow{q}$=（（2a-c）cosB，4），且$\overrightarrow{p}$=$\overrightarrow{q}$
（1）求角B的大小．
（2）如果b=2$\sqrt{2}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）三角形ABC中，由余弦定理可得cosB和cosC的解析式，代入bcosC=（2a-c）cosB化简可得 a²+c²-b²=ac，可得cosB的值，从而得到B的值．
（2）若b=2$\sqrt{2}$，a+c=4，代入a²+c²-b²=ac，求得ac的值，从而求得三角形ABC的面积$\frac{1}{2}$ac•sinB 的值．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{p}$=（bcosC，a+c），$\overrightarrow{q}$=（（2a-c）cosB，4），且$\overrightarrow{p}$=$\overrightarrow{q}$，
∴bcosC=（2a-c）cosB，a+c=4，
三角形ABC中，由余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
代入bcosC=（2a-c）cosB可得 a²+c²-b²=ac ①，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，B=$\frac{π}{3}$．
（2）若b=2$\sqrt{2}$，a+c=4，代入①可得 a²+c²-8=（a+c）²-2ac-8=16-2ac-8=ac，
∴ac=$\frac{8}{3}$．
∴三角形ABC的面积为：$\frac{1}{2}$ac•sinB=$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查余弦定理的应用，考查了平面向量数量积的运算，根据三角函数的值求角，属于中档题．