题目内容

9．设集合I={a1，a2，…，an }，若集合A，B满足A∪B=I，则称{A，B}为集合I的一种分拆，并规定，当且仅当A=B时，（A，B）与（B，A）为集合I的同一分拆，则集合I的不同分拆的种数为（　　）
A．3nB．2nC．3n-1D．2n-1

分析 根据已知中集合A，B满足A∪B=I，则称{A，B}为集合I的一种分拆，当且仅当A=B时，（A，B）与（B，A）为集合I的同一分拆，利用排列组合公式，可求出满足条件的集合I的不同分拆的种数．

解答 解：由已知中集合A，B满足A∪B=I，则称{A，B}为集合I的一种分拆，
且当且仅当A=B时，（A，B）与（B，A）为集合I的同一分拆，
则A有0个元素时，B有C00=20种，
A有1个元素时，B有C10+C11=21种，
A有2个元素时，B有C20+C21+C22=22种，
A有3个元素时，B有C30+C31+C32+C33=23种，
…
A有n个元素时，B有Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n种，
则集合I的不同分拆的种数为：20Cn0+21Cn1+22Cn2+23Cn3+…+2nCnn=（2+1）n=3n，
故选：A

点评 本题考查的知识点是排列组合公式，其中正确理解集合I的一种分拆的概念是解答的关键．

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