题目内容
【题目】已知曲线C1：
，曲线C2：
．
（1）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；
（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线
，
．写出，的参数方程．与公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由．
【答案】（1）
的普通方程为
，
的普通方程为
，所以与只有一个公共点；（2）压缩后的直线
与椭圆
仍然只有一个公共点，和与公共点个数相同．
【解析】
试题分析：本题主要考查参数方程与普通方程的互化、直线与圆的位置关系、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，利用参数方程中参数将参数方程转化成普通方程，判断图形形状，再利用圆心到直线的距离与半径的关系判断直线与圆的位置关系；第二问，先将原和的纵坐标压缩为原来的一半，得到曲线
和
的参数方程，再转化成普通方程得到直线和椭圆，2个方程联立，消参，利用判别式判断有几个交点．
试题解析：（1）是圆，是直线．
的普通方程为，圆心
，半径
．
的普通方程为． 2分
因为圆心到直线的距离为
，
所以与只有一个公共点． 4分
（2）压缩后的参数方程分别为
：
（
为参数）；：
（t为参数）．
化为普通方程为：：
，：
， 6分
联立消元得
，
其判别式
， 7分
所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和与公共点个数相同．
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