Question

9．已知变量x，y满足的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-2≤0}\\{x-2y+2≥0}\\{x+y-2≥0}\end{array}\right.$表示的区域为D，B，C为区域D内的任意两点，设$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$的夹角为θ，则tanθ的最大值是（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{3}{5}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 由题意，画出平面区域，找出$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$的夹角为θ最大，时的位置，由数量积公式求夹角，得到tanθ的最大值．

解答 解：当B，C处于如图所示位置时，
$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$的夹角为θ最大，得到B（$\frac{2}{3}，\frac{4}{3}$），C（$\frac{4}{3}，\frac{2}{3}$），则cosθ=$\frac{\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OB}||\overrightarrow{OC}|}$=$\frac{\frac{2}{3}×\frac{4}{3}+\frac{4}{3}×\frac{2}{3}}{\sqrt{（\frac{2}{3}）^{2}+（\frac{4}{3}）^{2}}\sqrt{（\frac{4}{3}）^{2}+（\frac{2}{3}）^{2}}}=\frac{4}{5}$，所以0＜θ＜$\frac{π}{2}$，且sinθ=$\frac{3}{5}$，
因为tanθ在（0，$\frac{π}{2}$）是增函数，所以tanθ的最大值为$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{3}{4}$；
故选C．

点评 本题考查了线性规划问题中最值的求法；关键是正确画出平面区域，找出最值点．