Question

6．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的右焦点F₁与抛物线y²=4x的焦点重合，原点到过点A（a，0），B（0，-b）的直线的距离是$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设动直线l=kx+m与椭圆C有且只有一个公共点P，过F₁作PF₁的垂线与直线l交于点Q，求证：点Q在定直线上，并求出定直线的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由抛物线的焦点坐标求得c=1，结合隐含条件得到a²=b²+1，再由点到直线的距离公式得到关于a，b的另一关系式，联立方程组求得a，b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，消去y得到（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，由判别式等于0整理得到4k²-m²+3=0，代入（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0求得P的坐标，然后写出直线F₁Q方程为$y=\frac{4k+m}{3}（x-1）$，联立方程组$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{y=\frac{4k+m}{3}（x-1）}\end{array}}\right.$，求得x=4，即说明点Q在定直线x=4上．

解答 （Ⅰ）解：由抛物线的焦点坐标为（1，0），得c=1，
因此a²=b²+1 ①，
直线AB：$\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=1$，即bx-ay-ab=0．
∴原点O到直线AB的距离为$d=\frac{ab}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}=\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$ ②，
联立①②，解得：a²=4，b²=3，
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（Ⅱ）由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，得方程（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，（*）
由直线与椭圆相切，得m≠0且△=64k²m²-4（4k²+3）（4m²-12）=0，
整理得：4k²-m²+3=0，
将4k²+3=m²，即m²-3=4k²代入（*）式，得m²x²+8kmx+16k²=0，
即（mx+4k）²=0，解得$x=-\frac{4k}{m}$，
∴$P（-\frac{4k}{m}，\frac{3}{m}）$，
又F₁（1，0），∴${k_{P{F_1}}}=\frac{{\frac{3}{m}}}{{-\frac{4k}{m}-1}}=-\frac{3}{4k+m}$，则${k_{{F_1}Q}}=\frac{4k+m}{3}$，
∴直线F₁Q方程为$y=\frac{4k+m}{3}（x-1）$，
联立方程组$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{y=\frac{4k+m}{3}（x-1）}\end{array}}\right.$，得x=4，
∴点Q在定直线x=4上．

点评 本题考查了椭圆方程的求法，考查了点到直线距离公式的应用，考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了两直线交点坐标的求法，是中档题．