题目内容
【题目】设函数满足:①对任意实数
都有
;②对任意
,都有
恒成立;③
不恒为0,且当
时,
.
(1)求的值;
(2)判断函数的奇偶性,并给出你的证明.
(3)定义“若存在非零常数,使得对函数
定义域中的任意一个
,均有
,则称
为以
为周期的周期函数”.试证明:函数
为周期函数,并求出
的值.
【答案】(1),
;(2)偶函数;见解析(3)见解析,
【解析】
(1)令,
,得
,令
,得
,从而得到
,再令
,确定出
的范围,从而得到
;(2)令
,
,结合
,可得
为偶函数;(3)
,得
周期为
,再分别令
,
,可得
,
,从而得到
,结合
周期性,得到答案.
(1)由于不恒为0,故存在
,使
,
令,
,
则,
所以,
令,
,
由,
令,得
,
所以得到
又令,
因为当时,
,所以
,
所以,,故
;
(2)定义域为
,
令,
,
得,
因为
所以,
所以为偶函数;
(3)由
取,得
,
又为偶函数,
则,
即是以2为周期的周期函数;
令,得
,即
再令,得
,即
.
而,解得,
,
,
由得,
,
,
所以
又由于是以2为周期的周期函数,
.
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