Question

11．已知复数$z=\frac{3+i}{2-i}$，z₁=2+mi．
（1）若|z+z₁|=5，求实数m的值；
（2）若复数az+2i在复平面上对应的点在第二象限，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用复数代数形式的乘除运算化简z，代入|z+z₁|=5，得到关于m的方程得答案；
（2）把z代入az+2i，整理后由实部小于0且虚部大于0联立不等式组求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）$z=\frac{3+i}{2-i}=\frac{（3+i）（2+i）}{（2-i）（2+i）}$=$\frac{5+5i}{5}$=1+i．
∵|z+z₁|=|1+i+2+mi|=|3+（m+1）i|=$\sqrt{{3^2}+{{（m+1）}^2}}$=5，
∴9+（m+1）²=25．
解得m=-5或3；
（2）az+2i=a（1+i）+2i=a+（a+2）i，
∵复数a+（a+2）i在复平面上对应的点在第二象限，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a+2＞0}\end{array}}\right.$．
解得-2＜a＜0．

点评 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．