Question

【题目】对于定义域为[0，1]）的函数f（x），如果同时满足以下三条：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f （1）＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，则称函数f（x）为理想函数．

（1）判断函数g（x）＝2x﹣1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并予以证明；

（2）若函数f（x）为理想函数，假定存在x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f（f（x0））＝x0，求证f（x0）＝x0．

Answer 1

【答案】（1）g（x）为理想函数；见解析（2）见解析

【解析】

(1)根据理想函数满足的条件逐个判断即可.

(2)利用条件③中的性质,再利用反证法证明即可.

（1）显然g（x）＝2x﹣1在[0,1]满足条件①g（x）≥0,也满足条件②g（1）＝1,

若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,

则

,满足条件③,

故g（x）为理想函数；

（2）证明：由条件③知,任给m,n∈[0,1],当m＜n时,由m＜n知,n﹣m∈[0,1],

∴f（n）＝f（n﹣m+m）≥f（n﹣m）+f（m）≥f（m）,

若x0＜f（x0）,则f（x0）≤f[f（x0）]＝x0,矛盾；

若x0＞f（x0）,则f（x0）≥f[f（x0）]＝x0,矛盾；

故x0＝f（x0）.