题目内容
【题目】已知常数
，函数
．
（1）讨论函数
在区间
上的单调性；
（2）若存在两个极值点
，且
，求
的取值范围．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
(1)求导后讨论导函数的取值情况继而得到原函数的单调性
(2)结合(1)中可得两个极值点情况，代入化简
的表达式，换元令
后再次对新函数求导来解答参量的取值范围
解：（1）
，
①当
，即
时，
，
在
上递增；
②当
，即
时，由
，得
，
解得
（舍去），
，且
，
，
所以在
上递减，在
上递增.
（2）由（1）知，若存在两个极值点
，则；
且，分别是的极大值点和极小值点。
由的定义域知
，且
，解得
；
又
将
，
代入，
得
令，得
，由且知，
且
，
记
，
①当
时，
，
，故
在
上递减，
所以
，即当
，即
时，
；
②当
时，
，，故在
上递减，
，即当
，即
时，
.
综上所述，满足条件的
的取值范围是.
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