Question

【题目】设函数.

（1）若时，取得极值，求的值；

（2）若在其定义域内为增函数，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ；(2).

【解析】

试题（1）先求函数的导函数，根据若时，取得极值得，解之即可；（2）在其定义域内为增函数可转化成只需在内有恒成立，根据二次函数的图象与性质建立不等式关系，解之即可.

试题解析：

(1)因为时，取得极值，所以，

即 故．

(2)的定义域为.方程的判别式,

（Ⅰ） 当, 即时，,

在内恒成立, 此时为增函数.

（Ⅱ）当, 即或时，

要使在定义域内为增函数, 只需在内有即可,

设，

由 得 , 所以.

由(1) (2)可知,若在其定义域内为增函数，的取值范围是.

【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的极值以及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围，本题(2)是利用方法 ② 求解的．