题目内容
【题目】如图,正方体的棱长为a,
分别是棱
、
的中点,过点
的平面分别与棱
、
交于点
,设
,
,给出以下四个命题:
(1)平面与平面
所成角的最大值为
;
(2)四边形的面积的最小值为
;
(3)四棱锥的体积为
;
(4)点到平面
的距离的最大值为
,
其中正确的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】
由两平面所成角的余弦公式即面积射影公式,计算可得所求最大值,可判断(1);
由四边形为菱形,计算面积,考虑
的最小值,可判断(2);
由棱锥的等体积法,计算可判断(3);
由等体积法和函数的性质可判断(4);
对于(1),由面面平行的性质定理可得,可得四边形
为平行四边形,又直角梯形
和直角梯形
全等,可得
,即有四边形
为菱形,且
,由平面
在底面上的射影为四边形
,
由面积射影公式可得
由,可得
,可得平面
与平面
所成角的最大值不为
,故(1)错;
对于(2),由,可得菱形
的面积的最小值为
故(2)正确;
对于(3),因为四棱锥的体积为
,故(3)正确;
对于(4)
设到平面
的距离为
,可得
,
可得 ,(其中
),当
即
时,
取得最大值
,故(4)正确;
故选:C
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