题目内容
【题目】动点
从坐标原点
出发沿着抛物线
移动到点
，则在移动过程中当
为最大时，
点的横坐标
________.
【答案】
【解析】
如图所示，以
和
为两个焦点作一个椭圆与
弧段（抛物线弧段）相切于
点（弧段整个地包含于椭圆内部或边界上.若有几个切点，则任取其中一点）.由椭圆的定义可推知：椭圆内部的点到两个焦点的距离之和小于椭圆上的点到两个焦点的距离之和（用三角形两边之和大于第三边易证），所以，对弧段上任意一点
，必有
，即
就是最大值.下面求点的横坐标.
过点作椭圆和抛物线的公切线
，则由椭圆的光学反射性质知：
和
与的夹角相等.设点的坐标为
，则的斜率为
（参见第一试第五题的题注），的斜率为
，而的斜率为
.由两直线间的夹角公式得
，化简得 
.
配方得 
.取其正根得
.综合上述知，当
为最大时，点横坐标
.
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