题目内容
【题目】在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD.
(Ⅰ)证明AB⊥平面VAD;
(Ⅱ)求面VAD与面VDB所成二面角的大小.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)因为平面VAD⊥平面ABCD,平面VAD∩平面ABCD=AD,
又AB在平面ABCD内,AD⊥AB,所以AB⊥平面VAD.
(Ⅱ)设AD的中点为O,连结VO,则VO⊥底面ABCD.
又设正方形边长为1,建立空间直角坐标系如图所示.
则,A(,0,0), B(,1,0),
D(-,0,0), V(0,0,);
.
由(Ⅰ)知是平面VAD的法向量.设是平面VDB的法向量,则
∴
由图知,面VAD与面VDB所成的二面角为锐角,
故,面VAD与面VDB所成二面角的大小为.