题目内容
17．已知椭圆的方程是$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，以椭圆的长轴为直径作圆，若直线x=x0与圆和椭圆在x轴上方的部分分别交于P，Q两点，则△POQ的面积S△POQ的最大值为（ ）| A． | $\frac{3}{2}$ | B． | $\frac{1}{4}$ | C． | $\frac{3}{4}$ | D． | $\frac{1}{2}$ |
分析 由题意画出图形，设出P，Q的坐标，求得|PQ|=$\frac{1}{3}\sqrt{9-{{x}_{0}}^{2}}$，代入三角形的面积后利用基本不等式求得最值．
解答 解：如图，
由题意可设P（${x}_{0}，\sqrt{9-{{x}_{0}}^{2}}$），Q（${x}_{0}，\frac{2}{3}\sqrt{9-{{x}_{0}}^{2}}$），
∴|PQ|=$\frac{1}{3}\sqrt{9-{{x}_{0}}^{2}}$，
则${S}_{△POQ}=\frac{1}{2}{x}_{0}•\frac{1}{3}\sqrt{9-{{x}_{0}}^{2}}$=$\frac{1}{6}\sqrt{{{x}_{0}}^{2}（9-{{x}_{0}}^{2}）}$$≤\frac{1}{6}\sqrt{（\frac{{{x}_{0}}^{2}+9-{{x}_{0}}^{2}}{2}）^{2}}=\frac{1}{6}×\frac{9}{2}=\frac{3}{4}$．
上式当且仅当${{x}_{0}}^{2}=9-{{x}_{0}}^{2}$，即${x}_{0}=±\frac{3\sqrt{2}}{2}$时取“=”，
∴△POQ的面积S△POQ的最大值为$\frac{3}{4}$．
故选：C．
点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了利用基本不等式求函数的最值，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
7．等差数列{an}的前项和为Sn，已知am+1+am-1-am2=0，S2m-1=38，则m=（ ）
| A． | 5 | B． | 6 | C． | 8 | D． | 10 |
5．函数y=4sinx，x∈[-π，π]的单调性是（ ）
| A． | 在[-π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数 | |
| B． | 在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上是增函数，在[-π，-$\frac{π}{2}$]和[$\frac{π}{2}$，π]上都是减函数 | |
| C． | 在[0，π]上是增函数，在[-π，0]上是减函数 | |
| D． | 在[$\frac{π}{2}$，π]和[-π，-$\frac{π}{2}$]上是增函数，在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上是减函数 |