Question

12．对于函数f（x），若f（x）=x，则称x为f（x）的“不动点”，若f（f（x））=x，则称x为f（x）的“稳定点”．函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A={x|f（x）=x}，B={x|f（f（x））=x}
（1）证明：A⊆B；
（2）设f（x）=x²+ax+b，若A={-1，3}，求集合B．

Answer 1

分析 （1）分A=∅和A≠∅的情况，然后根据所给“不动点”和“稳定点”的定义来证明．
（2）由f（x）=x²+ax+b，A={-1，3}，求出a，b，进而由f（f（x））=x构造方程，解方程可得B．

解答 证明：（1）?x∈A，即f（x）=x．
则有f[f（x）]=f（x）=x，x∈B
∴A⊆B
（2）∵f（x）=x²+ax+b，若A={-1，3}，
则方程x²+ax+b=x的两根是-1，3，
即方程x²+（a-1）x+b=0的两根是-1，3，
即-1+3=-（a-1），-1×3=b，
解得a=-1，b=-3，
故f（x）=x²-x-3，
若f（f（x））=x，
即（x²-x-3）²-（x²-x-3）-3=x，
即x⁴-2x³-6x²+6x+9=0，
即（x+1）（x-3）（x²-3）=0
解得：B={-1，3，-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$}，

点评 本题考查对新概念的理解和运用的能力，同时考查了集合间的关系和方程根的相关知识，解题过程中体现了分类讨论的数学思想，属中档题．