题目内容

20.已知矩形的周长为36,矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱,矩形的长、宽各为多少时,旋转形成的圆柱的侧面积最大?最大侧面积是多少?

分析 设矩形的长和宽分别为x和y,圆柱的侧面积为z,根据矩形的周长为36,结合基本不等式可得答案.

解答 解:设矩形的长和宽分别为x和y,圆柱的侧面积为z,(1分)
依题意,得$\left\{\begin{array}{l}2(x+y)=36\\ z=2π×x×y.\end{array}\right.$(7分)
即$\left\{\begin{array}{l}x+y=18\\ z≤2π×{(\frac{x+y}{2})^2}=162π.\end{array}\right.$(11分)
当x=y,即长和宽均为9时,圆柱的侧面积最大,最大侧面积为162π.(13分)

点评 本题考查的知识点是旋转体,圆柱的侧面积,基本不等式,难度不大,属于基础题.

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