Question

5．已知圆O，点A为圆O外一点，BC为圆O的直径，过A作圆O的割线交圆O于D，E两点，其满足BD=DE．
（1）求证：∠DOB=∠ECA；
（2）若AB=BO，BD=1，求四边形BDEC的周长．

Answer 1

分析 （1）如图，连接DC，由圆周角定理和圆周角、弧、弦间的关系进行推理；
（2）欲求四边形BDEC的周长，只需得到圆的半径即可．根据（1）的结论得到OD∥EC，由平行线截线段成比例得到半径的长度．

解答 （1）证明：如图，连接DC．
∵BD=DE，
∴∠BCD=∠ECD，即∠ECA=2∠BCD．
又∵∠DOB=2∠BCD，
∴∠DOB=∠ECA；
（2）解：由（1）知，∠DOB=∠ECA，则OD∥EC，
∵AB=BO，BD=DE=1，OB=OC=OD，
∴$\frac{AD}{AE}$=$\frac{AO}{AC}$=$\frac{OD}{EC}$，则$\frac{AD}{DE}$=$\frac{2OB}{OB}$．
∴$\frac{AD}{1}$=2，
则AD=2，AE=3，EC=$\frac{3}{2}$OD，
又AD•AE=AB•AC，即2×3=OB•3OB，
∴OB=$\sqrt{2}$，
∴四边形BDEC的周长是：BD+DE+EC+BC=2+$\frac{3}{2}$OD+OB=2+$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了圆周角定理和相交弦定理．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．