Question

11．已知椭圆C与椭圆x²+37y²=37的焦点F₁，F₂相同，且椭圆C过点（$\frac{5\sqrt{7}}{2}$，-6）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点P在椭圆C上，且∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，求△F₁PF₂的面积．

Answer 1

分析 （1）通过椭圆x²+37y²=37可设椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{36+{b}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，并代入点（$\frac{5\sqrt{7}}{2}$，-6）计算可知b²=64，进而计算可得结论；
（2）通过（1）可知F₁F₂=12，设PF₁=x（4＜x＜16），则PF₂=20-x，利用余弦定理可知cos∠F₁PF₂=$\frac{{x}^{2}+（20-x）^{2}-1{2}^{2}}{2x（20-x）}$=$\frac{1}{2}$，计算可知x=$\frac{30±2\sqrt{33}}{3}$，利用${S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$PF₁•PF₂•sin∠F₁PF₂计算即得结论．

解答 解：（1）∵椭圆x²+37y²=37的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{37}$+y²=1，
∴F₁（-6，0），F₂（6，0），
∴椭圆C的焦点在x轴上，
设椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{36+{b}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
又∵椭圆C过点（$\frac{5\sqrt{7}}{2}$，-6），
∴$\frac{175}{4（36+{b}^{2}）}$+$\frac{36}{{b}^{2}}$=1，
化简得：4b⁴-175b²-5184=0，
解得：b²=64或b²=-20.25（舍），
∴a²=36+b²=100，
∴椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{100}+\frac{{y}^{2}}{64}=1$；
（2）由（1）可知F₁F₂=12，PF₁+PF₂=20，
设PF₁=x（4＜x＜16），则PF₂=20-x，
∵点P在椭圆C上，且∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，
∴cos∠F₁PF₂=$\frac{{x}^{2}+（20-x）^{2}-1{2}^{2}}{2x（20-x）}$=$\frac{1}{2}$，
整理得：3x²-60x+256=0，
解得：x=$\frac{30±2\sqrt{33}}{3}$，
∴${S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$PF₁•PF₂•sin∠F₁PF₂
=$\frac{1}{2}$•$\frac{30+2\sqrt{33}}{3}$•$\frac{30-2\sqrt{33}}{3}$•$sin\frac{π}{3}$
=$\frac{900-132}{18}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{64\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．